Когда письма не отправляются с сервера и зависли в очереди (в заморозке, локально) о чем можно узнать в /var/log/exim4/mainlog:
2016-05-15 22:00:00 1b20Fd-000G3g-Ty Message is Frozen

Можно сначала постараться сделать реконфиг exim который по умолчанию настроен на доставку локальной почты, делается реконфиг командой:

dpkg-reconfigure exim4-config

После реконфига почта должна свободно ходить, а непрошедшую ранее, замороженную, можно протолкнуть следующей командой:

mailq  | grep "*** frozen ***" | awk '{print $3}' | tail -10 | xargs exim -d -M